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フィボナッチ数列の 漸化式

フィボナッチ数列の 漸化式

フィボナッチ数列の一般項を計算する(※ただし有理数に限る)

さて、この FibNum こと Rational の二要素からなるタプルは、左に \( \sqrt \) が付かない項を、右に \( \sqrt \) が付く項を格納することしよう。つまり (1, 1) と書けば \( 1 + \sqrt \) フィボナッチ数列の 漸化式 のこと。 (0, 1) と書けば \( \sqrt \) のこと。 (1 % 2, 1 % 3) と書けば \( \frac + \frac \sqrt \) のことを表す。

式を書き下す

OK。さすがにちょっと見づらいがまあ仕方ない。でも fibDiv として素直に除算を除算のまま書き下してしまった。除算は \( 0 \) で割れないとか面倒なこともあるので、乗算の形にしておきたい。

まず、 (1, 1) `fibDiv` (2, 0) は要するに \( \frac> フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 \) のことだが、こんなものは \( \frac + \frac\sqrt \)、つまり (1 % 2, 1 % 2) としてしまえば良い。

後ろ側の \( \sqrt \) で割る処理は、逆数であるところの \( \frac<\sqrt> \) 、つまり \( フィボナッチ数列の 漸化式 \frac<\sqrt> \) を掛ければ良い。\( \frac<\sqrt> \) ってことは \( 0 + \frac\sqrt \) だから、ここでの表現では (0, 1 % 5) ってことだ。

演算子を実装する : 累乗

\( n \) が大きいとそのまま \(n – フィボナッチ数列の 漸化式 1\) 回の乗算をすることになってちょっとばかり遅い。二乗の結果が使えるところはどんどんそれを使って計算させることにしよう。乗算の回数が最大でも \( 2 \log \) 回で済む。

演算子を実装する : 乗算

FibNum の乗算とは何かと言うと、\( (a + b\sqrt)(フィボナッチ数列の 漸化式 c + d\sqrt) \) ってことで、つまり、

\begin & & (a + b\sqrt)(c + フィボナッチ数列の 漸化式 d\sqrt) \\ &=& ac + ad\sqrt + bc\sqrt + 5bd \\ &=& (ac + 5bd) + (ad + bc)\sqrt \end

フィボナッチ数列の 漸化式

フィボナッチ数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34・・・}と黄金比 Φ には、いろいろな関係がありそうです。
フィボナッチ数列 < Fn > の定義式は F1=1、F2=2、 FnFn-1Fn-2 (n≧3)(以下、この関係式を漸化式とよぶ。)でした。定義式からフィボナッチ数列の各項はすべて整数であることは明らかですね。このとき、n番目の数をいちいち足していかなくても求められると便利ですよね。つまり第n項を直接求められる式がほしいわけです。数学では、数列の隣接3項間漸化式から一般項を求める問題を解いた人にはお馴染みですが、ちょっと考えてみましょう。
フィボナッチ数列の漸化式 FnFn-1Fn-2 ・・・①に準じて r n = r n-1 + r n-2 ・・・②を満たす(ゼロでない)r の累乗 r n の数列が存在するか調べてみましょう。②の両辺を r n-2 で割ると、 r 2 = r + 1 つまり r 2 - r - = 0

とすると r = Φ または r = Φ’ のとき、累乗 r n はフィボナッチ数列の漸化式①を満たすということです。このことから、
問1 A と B を定数とするとき、任意の数列 Kn = A Φ n +B Φ’ n ・・・③も①の漸化式を満たしていることを確かめてください。
問2 ここで K1K2 を 1として、A と B を求めてください。

whats-up / gist:3367091

フィボナッチ数列は以下の漸化式で定義される: Fn = Fn-1 + Fn-2, ただし F1 = 1, F2 = 1. 最初の12項は以下である. F1 フィボナッチ数列の 漸化式 = 1 F2 = 1 F3 = 2 F4 = 3 F5 = 5 F6 = 8 F7 = 13 F8 = 21 F9 = 34 F10 = 55 F11 = 89 F12 = 144 12番目の項, フィボナッチ数列の 漸化式 F12が3桁になる最初の項である. 1000桁になる最初の項の番号を答えよ.

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フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式
#! /usr/bin/env python
# coding: フィボナッチ数列の 漸化式 utf-8
def fibo ():
a = 1
b = 1
count = 2
while フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 True :
count += 1
c = a + b
a = b
b = c
yield ( count , c )
f = fibo ()
while True :
obj = f . next ()
if len ( str ( obj [ 1 ])) == 1000 :
print "F%d = %d" % obj
break
#F17 = 1597
#1000の位までだと勘違いしてました。1000桁ですね。
#F4782 = 1070066266382758936764980584457396885083683896632151665013235203375314520604694040621889147582489792657804694888177591957484336466672569959512996030461262748092482186144069433051234774442750273781753087579391666192149259186759553966422837148943113074699503439547001985432609723067290192870526447243726117715821825548491120525013201478612965931381792235559657452039506137551467837543229119602129934048260706175397706847068202895486902666185435124521900369480641357447470911707619766945691070098024393439617474103736912503231365532164773697023167755051595173518460579954919410967778373229665796581646513903488154256310184224190259846088000110186255550245493937113651657039447629584714548523425950428582425306083544435428212611008992863795048006894330309773217834864543113205765659868456288616808718693835297350643986297640660000723562917905207051164077614812491885830945940566688339109350944456576357666151619317753792891661581327159616877487983821820492520348473874384736771934512787029218636250627816

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フィボナッチ数列の 漸化式

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フィボナッチ数 – Wikipedia

フィボナッチ数のうち平方数であるのは F1 = F2 = 1 , フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 F12 = 144 のみ (Cohn 1964) [4] 、立方数であるのは F1 = F2 = フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 1 , F6 = 8 のみ (London and Finkelstein 1969) [5] である。フィボナッチ数のうち累乗数であるのはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006) [6] 。(オンライン整数列大辞典の数列 A227875)

フィボナッチ数で素数であるのは 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, … である(オンライン整数列大辞典の数列 A005478)。また、これらはフィボナッチ素数と呼ばれる。

フィボナッチ数で三角数であるのは 1, 3, 21, 55(オンライン整数列大辞典の数列 A039595)のみであることは Vern Hoggatt によって予想されていたが、のちに Luo Ming によって証明された [7] 。

フィボナッチ数でハーシャッド数であるのは 1, 2, 3, 5, 8, 21, 144, 2584, …(オンライン整数列大辞典の数列 A117774)。

フィボナッチ数は完全数にはならない [8] 。より一般に、フィボナッチ数は倍積完全数にもならず [9] 、2つのフィボナッチ数の商も完全数にはならない [10] 。

フィボナッチ数列の逆数和は収束し、記号 ψ で表される。

この フィボナッチ数列の 漸化式 ψ が無理数であることは証明されているが (André-Jeannin 1989)、超越数であるかどうかは分かっていない。

プログラミング言語での実装 [ 編集 ]

例1(再帰的処理による実装例) [ 編集 ]

例2(ループ処理による実装例) [ フィボナッチ数列の 漸化式 編集 ]

例3(一般項による実装例) [ 編集 ]

しかし、上記例1のプログラムでは n が与えられてから Fn が求まるまでに

回の関数呼び出しが発生する(すなわち指数時間の計算となる)ため、実用的ではない。したがって通常は、線形時間で計算するためにメモ化などの手法を用いる。さらに、 n が大きい場合には一般項の公式(上記例3)や行列表現 [3] を利用して 対数時間 (英語版) での計算を行う。

その他の話題 [ 編集 ]

  • フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。
  • また、フィボナッチ数列が生み出す螺旋は、世界で最も美しい螺旋だと言われている。
  • 花びらの数はフィボナッチ数であることが多い。
  • 植物の花や実に現れる螺旋の数もフィボナッチ数であることが多い。
    • ヒマワリの螺旋の数はフィボナッチ数とされることもあるが、螺旋の数が多い場合、中心から離れると螺旋の隙間にも種ができてしまうため、途中から枝分かれしてフィボナッチ数にならないこともある [15] 。

    負数番への拡張 [ 編集 ]

    フィボナッチ数列は、漸化式 Fn = Fn−1 + Fn−2 を全ての整数 フィボナッチ数列の 漸化式 n に対して適用することにより、 n が負の整数の場合に拡張できる。そして Fn = (−1) n+1 Fn が成り立つ。この式より、負の番号の項は次のようになる。

    フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式
    n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
    F−n 0 1 −1 2 −3 5 −8 13 −21 34 −55 89 −144 233 −377 610 −987 1597 −2584 4181−6765

    類似の数列 [ 編集 ]

    項数の変更 [ 編集 ]

    フィボナッチ数列は各項が先行する二項の和であるものであったが、それを「先行する k 項の和」と置き換えた一般化

    を考えることができる。ただし、初期値は 1 で埋める(1-fil型)

    あるいは 0 で埋める(0-fil型)

    などを取るのが一般的である。これらフィボナッチ数列の類似物を、項数 k に対応するラテン語またはギリシャ語に由来する倍数接頭辞を「フィボナッチ」と組み合わせた名称で呼ぶ [注釈 2] 。

    和の項数や初期値の変更
    フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式
    k 接頭辞 [16] 名称 整数列大辞典
    3 tri- トリボナッチ数 0 fil: A000073
    1 fil: A000213
    4 tetra- テトラナッチ数 0 fil: A000078
    1 フィボナッチ数列の 漸化式 fil: A000288
    5 penta- ペンタナッチ数 0 fil: A001591
    1 fil: A000322 フィボナッチ数列の 漸化式
    6 hexa- ヘキサナッチ数 0 fil: A001592
    1 fil: A000383
    7 hepta- ヘプタナッチ数 0 fil: A122189
    1 fil: A060455
    8 octa-オクタナッチ数 0 fil: A079262
    1 fil: A123526
    9 nona- ノナ(ボ)ナッチ数 1 フィボナッチ数列の 漸化式 fil: A127193
    10 deca- デカ(ボ)ナッチ数 1 fil: A127194
    11 undeca- ウンデカ(ボ)ナッチ数 1 fil: A127624
    12 dodeca- ドデカ(ボ)ナッチ数 1 fil: A207539
    20 icosa- イコサナッチ数

    トリボナッチ数 フィボナッチ数列の 漸化式 [ 編集 ]

    T0 = T1 = 0, T2 = 1, Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2 (n ≥ 0)

    0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (OEIS A000073)

    ただし、 α, β, γ は三次方程式 x 3 − x 2 − x − 1 = 0 の3解

    また、上記の α をトリボナッチ定数という。これはフィボナッチ数列における黄金数に当たる定数で、トリボナッチ数列の隣接2項間の商はトリボナッチ定数に収束する:

    テトラナッチ数 [ 編集 ]

    T0 = T1 = T2 = フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 0, T3 = 1, Tn+4 = Tn + Tn+1 + Tn+2 + Tn+3 (n ≥ 0)

    0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, … (OEIS A000078)

    一般項は、四次方程式 x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 の4解を α, β, γ, δ として、

    初期値の変更 [ 編集 ]

    リュカ数 [ 編集 ]

    フィボナッチ数列の最初の2項を 2, 1 に置き換えた数列の項をリュカ数という。

    2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, フィボナッチ数列の 漸化式 843, 1364, 2207, 3571, 5778, … (OECS A000032)

    フィボナッチ数列やリュカ数の列を一般化したものがリュカ数列であり、1878年にエドゥアール・リュカが体系的な研究を行い、1913年に ロバート・ダニエル・カーマイケル (英語版) がその結果を整理、拡張した [17] 。これらの研究が現代のフィボナッチ数の理論の基礎となった。

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